在介绍波士顿机制Boston Mechanism时我们提到，学生会发现，如果自己谎报志愿，和报真实偏好相比，可能能够进入更好的学校，这说明BM不是strategy-proof的。而且，如果所有学生都意识到这一点，那么就构成了一场填报志愿的博弈，最后的均衡结果中最好的恰恰就是DA算法给出的最优稳定匹配。
但是，并不是所有的学生都意识到了这一点，如果有的学生仍然选择报上自己的真实志愿（这些学生称为”Sincere students”，或者也叫”Naive students”），而有的学生意识到自己可以谎报（这些学生称为”Sophisticated students”，或者也叫”Strategic students”），那结果会是怎么样的呢？
接下来登场的这篇论文是Pathak & Sönmez (2008, AER) “Leveling the Playing Field: Sincere and Sophisticated Players in the Boston Mechanism”（Sönmez的那个o上有两个点哦）
首先我们考虑这样一个问题，为什么那些谎报志愿的学生可以更好呢？其实很简单，因为他们可以把自己想去的学校往前提，挤掉那些虽然学校更喜欢但是却把志愿填在后面的学生。那么哪些学生不会被他们影响呢？我们来看这个例子。
有四个学生14，四所学校AD，每个学校招一个学生，偏好和Priority分别是：
R1: B A C D(Sophisticated)
R2: B A D C(Sophisticated)
R3: B A D C(Sincere)
R4: B A C D(Sincere)
PA: 4 2 1 3
PB: 3 2 1 4
PC: 1 2 3 4
PD: 1 2 3 4
如果所有人都是真实填报，结果是
1 C 2 D 3 B 4 A
但是如果学生1和2试图通过改变志愿来使得自己更好，最终的结果是
1 C 2 A 3 B 4 D （学生2将学校A提到学校B之前）
注意到，由于学生3最喜欢学校B，而学校B也最喜欢学生3，即使学生3本身不能谎报，他也一定会被录取。而学生4则没有那么幸运了，因为他不能谎报，所以学生1和学生2都可以把学校A提到最前面而把学生4挤掉，但是由于学生2在学校A的priority中靠前，因此学生2会被学校A录取，学生1最好的结果也只有学校C，但是学生4被挤到了学校D。
总结一下，只有学生3这样，把学校B填在了首位，而且学校B又将他列在了可能谎报的学生之前的学生，才会不受影响。
从另一个角度看，这个结论也就意味着，对于任意学校A来说，可以谎报的学生都比不能谎报且没有把学校A填在首位的学生更有可能进入学校A，这其实也是一种变相的priority的体现。那么我们是不是可以通过调整priority来直接得到最后的均衡结果呢？答案当然是YES。
对于学校A，新的priority是这样组成的：
(i)所有可以谎报偏好的学生，和所有将学校A作为首选学校的学生，按照原先的priority进行排列；
(ii)所有将学校A作为次选学校的学生，按照原先的priority进行排列；
(iii)所有将学校A作为第三选择学校的学生，按照原先的priority进行排列；
……依此类推
还是拿上面的例子来看
P’A: 2 1 4 3
P’B: 3 2 1 4
P’C: 1 2 4 3
P’D: 1 2 3 4
在新的priority下，所有的稳定匹配就是在只有部分学生可以谎报志愿时所有的纳什均衡。如果所有学生都能谎报志愿，那么新的priority和原本的priority是一致的，所有的稳定匹配就是所有的纳什均衡，这个之前已经讨论过的结论就是新结论的一个特例啦~
（2015.06.16 @ 微信公众号 @ 《第三讲：More on College Admission 择校问题补遗（二）》）
