择校问题是个筐，什么都能往里装，啊不对，也不是什么都能往里装，但是确实这个筐里还是装了很多好玩的东西，值得拿出来扒一扒。今天首先要扒的，就是各位高三考生马上要面临的一件大事——平！行！志！愿！(Chinese Parallel Mechanism)
上一讲介绍了波士顿机制，童鞋们有没有觉得这个模型很熟悉？好像有点像中国的高考志愿对吧？这两者之间确实有些相似之处，但又不尽相同，经济学家们自然关注到了这个问题。
今天要介绍的这篇paper是Chen & Kesten (2013) “From Boston to Chinese Parallel to Deferred Acceptance: Theory and Experiments on a Family of School Choice Mechanisms”名字很长，文章也很长（83页……），但是其实主要的逻辑线很简单。
首先登场的当然是相爱相杀的BM和DA两兄弟的血泪史，由于DA的强势崛起，BM被波士顿公立学校委员会抛弃了，但是随后一大票经济学家又了出来，表明BM在效率上各种血虐DA。不料此时作者荡开一笔，将目光移开这场没有硝烟的战争，在神秘而遥远的东方，有一条沉睡了千年的巨龙，它的名字叫作中国，在大学录取时采用了一种神奇的机制，称为Shanghai Mechanism，因为这套机制最早出现在上海的高中录取流程当中；当然， 后来它的名字就变成了Parallel Mechanism，也就是平行志愿。各地的高考录取慢慢接受了这套机制，当然也做了一些小小的改动，比如北京就是第一志愿+三个平行第二志愿（这是作者说的，不知道是不是现在还是这样哈），这些变种就被称为Partial Parallel Mechanism；所有这些，统称为Chinese Parallel Mechanism。
虽然看起来BM、DA和平行志愿大不相同，但其实我们可以把它们统一归纳为一族机制。在这一族机制中，这三种机制唯一的区别只在于一个参数e，对于BM来说，e=1，对于DA来说，e=∞，对于不同的Chinese Parallel Mechanism, e=2~∞（当e=2时，就是Shanghai Mechanism）。
那么这个参数e到底是什么意思呢？它表示的是，在一个分阶段进行的不删档录取机制中，每一阶段可以填写的学校数量。
对于BM，e=1，也就是每个学生每阶段只能写一个学校，这就相当于每次挑自己未被拒绝的偏好最高的学校进行申请，如果被录取了，学校就不会再招新的学生进来了。
对于DA，e=∞，也就是每个学生每阶段能把所有的学校按自己的偏好填进去，这就是一个普通的DA算法。
对于平行志愿，比如e=2，每个学生每阶段能够填2个学校，然后学校和学生就根据这个有限的偏好，进行一轮DA。在这一轮中，学校对于后来的优秀学生会踢掉原先稍差一点的学生。但是这一轮DA结束后，已经招进去的学生就不会被踢掉了，只有那些没有被招进去的学生，和没有招满学生的学校进入下一轮，每个没学上的学生还是填2个学校，再进行一轮DA，依此类推。大体上来说，可以理解为本一填两个志愿，如果录取了就录取了，如果没有录取，就进入征求平行志愿，这时候已经招满学生的学校就不会再有名额了。
这样一来，平行志愿就成了BM和DA的一个折衷。我们知道，BM的优点在于帕累托最优，也就是有效率（是这一族机制中唯一一个）；而DA的优点在于给出稳定匹配，而且对于学生这一方来说是strategy-proof的（也是这一族机制中唯一一个）。折衷的结果就是，平行志愿比DA更有效率，比BM更稳定，而且更不会被操纵。当然，随着参数e的不同，这些优点也不尽相同，e越大（越倾向于DA），可操纵性就越低，e越小（越倾向于BM），效率就越高（会有更多的学生进入他们的首选志愿学校）。至于稳定性方面，如果e’是e的整数倍，那么前者比后者更稳定，但对于非整数倍之间就无法比较了。
从另一个角度来看，平行志愿其实可以通过调整学校的priority，转化为DA的结果，这其实是证明上述结论时的一个小trick：
首先，根据e的大小，把学生的实际偏好分段，每段有e个学校。学校据此调整自己的priority：
对于学校A，假设学生i把学校A填在第ai段，学生j把学校A填在第aj段，如果
(i) ai<aj，那么学生i会在学生j之前先进入学校A的选拔，所以i要排在j前面；
(ii) ai>aj，同理；
(iii) ai=aj，那么学生i和学生j将会在同一轮进入学校A的选拔，那么根据原本的priority顺序排列。
举个栗子，e=2，有六所学校AF，三名学生13，学校A的priority原本是1 2 3，而三名学生的偏好分别是
R1: C D E F A B
R2: E F A B C D
R3: E F A B C D
学生1在最后一段才会填学校A，而学生2和3在第二段就会填学校A，所以学校A把2和3排在1前面，最后调整过的priority就是2 3 1。而在这个新的priority下，DA的结果就是参数为e的平行志愿的结果。
作者还做了实验检验在不同数目的学校下填报志愿的模拟结果，但是由于这个一点都不有趣感兴趣的同学们可以自己去读这个论文哈（再次强调，83页……）
（2015.06.12 @ 微信公众号 @ 《第三讲：More on College Admission 择校问题补遗（一）》）
