这个……其实是有关数学的……
不喜勿看~
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Part 1
缘起是这样的，小坦克有一天上操问我，$y=x^x$的导数是什么？
然后我华丽丽地告诉他，先两边求自然对数，然后隐函数求导，也即
$$\ln y = x \ln x$$
$$\frac{y’}{y}=1+\ln x$$
所以
$$y’=y(1+\ln x) = x^x(1+\ln x)$$
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Part 2
几天后，我在无聊当中玩计算器，自己定了个规则：
对于一个数
$$x=x_1\times 10^n+x_2\times 10^{n-1}+x_3\times 10^{n-2}+\ldots+x_n\times 10 +x_{n+1}$$
令
$$F(x)=x_1^{x_1}+x_2^{x_2}+x_3^{x_3}+\ldots+x_{n+1}^{x_{n+1}}$$
（$0^0$认为是$0$~）
这样不断地求$F(x)$竟然做了许多步都没有循环……（不排除循环了我没注意……）
我开始考虑有没有可能是不循环的，但显然不是不循环的：
（伪）证明： 显然如果一个数$x$充分大，那么每当进行一次取$F(x)$操作，$x$最多等于$9^9(\log x+1)$。当$x>10^{10}$时，$F(x)$是小于$x$的；当$x<10^{10}$时，显然$F(x)$的可能取值是有限的（求组合数为${19 \choose 9}=92378$个），因此超过$92378$步后根据抽屉原理，必然会重复；证毕。
最有效的证据是什么呢？当然是自守或者叫不动点的情况，也就是$F(x)=x$咯~
但是，手动构造真是太复杂了！ 因为这个很没有规律…….
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Part 3
此时就凸显出计算机的重要性啦~
我拍了个程序（很弱智的那种，枚举500步的状况，然后懒得写HASH了，再写了个程序判是否循环），经过孜孜不倦的努力，我终于发现了以下几组3组循环，3组不动点……（P.S. 我只测试到$10^7$，还有$10^{10}-10^7$种，我电脑跑起来非得一天一夜……望有识人士相助）
(1) 50119–>387423616–>17694386–>405114844–>16781367–>18517643–>17650825–>17653670–>1743551–>830078–>34378002–>17601073–>1693771–>389114260–>404244650–>50809–>404200830–>16777759–>390764443–>388291510–>420978079–>793265540–>388297225–>421801628–>33601354–>50119
(2) 404247490–>388245060–>33604500–>50091–>387423615–>17650855–>17656791–>389164014–>404244902–>387421521–>17604177–>2517543–>830081–>33554460–>53472–>826955–>404250615–>53423–>3439–>387420799–>793265567–>389167168–>421891805–>420978308–>421798751–>405848178–>51158829–>420981177–>405845053–>16787130–>18470987–>422622264–>93844–>404198244–>404198734–>405022044–>3901–>387420517–>18427715–>18427689–>421845381–>33558102–>16783525–>17653697–>389164040–>404244901–>387421518–>34381389–>420975259–>775671035–>2523563–>52968–>404247490
(3) 388247166–>34471575–>1653876–>17697224–>389114496–>791665391–>775760987–>407541658–>17654178–>18474341–>17601556–>923107–>388244064–>33601887–>34424686–>16871327–>18470991–>792441995–>1163088652–>33650902–>387470328–>35201832–>16780404–>17647928–>405891708–>421801846–>33601606–>140023–>288–>33554436–>53499–>774844386–>35248969–>791668262–>405161225–>53172–>826700–>17647419–>389114745–>405024914–>387424387–>35202088–>33557592–>388253465–>33607652–>920038–>404197736–>389114771–>405845077–>18431064–>16824413–>16824417–>17647933–>389114542–>404201375–>827212–>17600772–>2517290–>388247166
(4) 3435–>3435
(5) 1–>1
(6) 438579088–>438579088
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如果你能够坚持看到这里……
那么，就没有了……
（2011.01.21 @ 人人 @ 杂记I–有关X^X的……）
